引发 » 科学 » 数学的 » 虚数：性质、应用、例子
虚数是实数集的扩展，其起源于对无法仅用实数求解的方程式的求解。虚数的形式为 a + bi，其中 a 和 b 为实数，“i”为虚数单位，定义为 -1 的平方根。虚数具有有趣而独特的性质，广泛应用于数学、物理和工程等各个领域。本文将探讨虚数的一些性质及其在不同情境中的应用，并提供示例来说明其用法。
复数：数学和物理各个领域中的概念和应用。
复数： 复数的概念及其在数学和物理各个领域中的应用。复数由实部和虚部组成，表示为 a + bi，其中 a 为实部，b 为虚部，i 为虚数单位。复数在数学和物理的各个领域都极其重要，广泛应用于微分方程、复分析、数论、量子力学等。
号码 假想 是复数的一部分，用 bi 表示，其中 b 为实数，i 为虚数单位，定义为 -1 的平方根。虚数在许多应用中都是基础，例如求解无实数解的方程、表示振荡现象、波动理论等等。
虚数的性质包括：与 i 相乘会导致复平面旋转 90 度；以及指数运算，允许以循环方式计算 i 的幂。此外，虚数在各个领域都有应用，例如在电气工程中用于表示电路中的阻抗，在几何学中用于表示线性变换，在物理学中用于描述波动现象。
虚数应用的一个经典例子是解方程 x² + 1 = 0，该方程无实数解。引入虚数单位 i 后，方程变为 x² = -1，其解为 x = ±i。这表明虚数对于扩展实数集以及解决无法仅用实数解决的问题至关重要。
虚数与我们的日常生活和职业活动有何关系？
虚数是一个基本的数学概念，在我们生活的方方面面都扮演着重要的角色，无论是在日常生活中还是在职业活动中。尽管虚数这个名字听起来有些引人遐想，但它并非缺乏实际用途的抽象概念，而是能够让我们高效优雅地解决复杂问题的强大工具。
首先，虚数在各种工程、物理和数学应用中都至关重要。它们自然地出现在描述物理现象（例如电磁波、电路和机械振动）的方程中。此外，虚数在阻抗计算、多项式根计算和动态系统分析中也得到广泛应用。
此外，虚数在解代数方程和表示复数方面起着至关重要的作用。例如，二次公式（它使我们能够求二次方程的根）在判别式为负时就需要使用虚数。同样，用 a + bi 的形式表示复数，其中“a”和“b”是实数，“i”是虚数单位，这使我们能够处理那些无法仅用实数表示的量。
相关： 5道儿童乘法题因此，虚数显然是一个强大而多功能的工具，在我们的日常生活和职业活动中发挥着重要作用。无论是解复杂的方程、分析物理现象，还是表示复数，虚数对于处理超越现实世界的问题都是必不可少的。因此，理解并有效地运用这些数字对于在各个知识领域获得准确而有意义的结果至关重要。
复数在不同知识领域中的应用：全面分析。
复数由实部和虚部组成，因其独特的性质和多功能性而被广泛应用于各个知识领域。复数存在于数学、物理、工程、计算等领域。
在数学中，复数是解无实数解的方程（例如负数的平方根）的关键。复数也用于分析复杂函数（例如指数函数和三角函数），以及数论。
在物理学中复数对于描述光和声音等波动现象至关重要。它们被广泛应用于光学、声学、电磁学、量子力学以及其他理论和应用物理学领域。
在工程领域复数用于电路分析、动态系统控制、信号处理和其他应用。它们有助于复杂系统的计算和数学建模。
在计算中复数常用于图像处理算法、计算机图形学、计算机模拟和其他应用。它们能够高效、紧凑地表示视觉和数学信息。
它的使用对于理解和建模物理、数学和计算现象至关重要。
什么是虚数以及它们如何运作？
虚数： 属性、应用、示例。
Os 虚数 是实数的扩展，用于表示无法用实数表示的量。它们由实部和虚部组成，虚部用虚数单位表示 i，等于√(-1)。
要了解如何 虚数 工作中，重要的是要知道数字的实部由水平轴（轴 x），而虚部则用纵轴（轴 y）。虚数的形式为 一个+双， 波浪 a 是实部， b 是虚部。
Os 虚数 它们具有一些有趣的性质，例如两个虚数相乘会得到一个负实数。此外，它们在数学的各个领域都有广泛的应用，例如解二次方程和表示电磁波等物理现象。
虚数的一个简单例子是 3+2i， 波浪 3 是实部， 2i 是虚部。为了绘制这个数字，我们需要绘制 3 在轴线上 x e 2 在轴线上 y.
相关： 超几何分布：公式、方程、模型它们具有独特的性质，广泛应用于数学和物理的各个领域。
虚数：性质、应用、例子
Os 虚数 是那些求解未知数平方等于负实数的方程的函数。虚数单位是 i = √（-1） .
在等式中： z 2 = – a, z 是一个虚数，表示如下：
z = √ (-a) = i√ (a)
É um 正实数。如果 a = 1 ， 然后 z = i ， 波浪 i 是虚数单位。
一般来说，纯虚数 z 总是表示为以下形式：
z = y⋅i
哪里 y 是一个实数 ei 是虚数单位。
就像实数在一条线上表示一样，称为 皇室血统 ，类似地，虚数表示为 虚线 .
A 虚线 总是正交（90°形状） 皇室血统 这两条线定义了一个笛卡尔平面，称为 复平面 .
图 1 显示了复平面，它表示一些实数、一些虚数以及一些复数：
X 1 ， X 2 ， X 3 是实数
Y 1 ，Y 2 ，Y 3 是虚数
Z 2 和 Z 3 是复数
数字 O 是实数零点，也是虚数零点；因此，原点 O 是复数零点，表示为：
0+0i
属性
虚数集表示为：
I = {……, -3i,…, -2i,…., – i,…., 0i,…., I,…., 2i,…., 3i,…}
你可以在这个数集上定义一些运算。这些运算并不总是能得到虚数，所以让我们更详细地看一下：
添加和减去图像
虚数可以相互加减，得到一个新的虚数。例如：
3i + 2i = 5i
4i – 7i = -3i
假想产品
当一个虚数与另一个虚数相乘时，结果是一个实数。我们来执行下面的操作来验证这一点：
2i x 3i = 6xi 2 = 6 x (√(-1)) 2 = 6 x (-1) = -6。
而且，正如我们所见，-6 是一个实数，尽管它是通过将两个纯虚数相乘得到的。
实数与虚数的乘积
如果实数乘以 i，结果将是一个虚数，对应于逆时针方向旋转 90 度。
那是我吗 2 对应连续两次旋转90度，相当于乘以-1，也就是 2 = -1。如下图所示：
例如：
-3 x 5i = -15i
-3 xi = -3i。
赋予想象的力量
您可以定义虚数到整数指数的增强：
i 1 =我
i 2 = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1
i 3 = ixi 2 = -i
i 4 =我 2 xi 2 = -1 x -1 = 1
i 5 = ixi 4 =我
一般来说，我们必须 i n = i ^ (n mod 4)，在 该 MOD 是 n e 4 .
也可以执行负整数幂运算：
i -1 = 1 / 我 1 = i / (ixi 1 ) = i / (i 2 ) = i / (-1) = -i
i- 2 = 1 / 我 2 = 1 / (-1) = -1
i- 3 = 1 / 我 3 = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 xi -1 = (-1) x (-i) = i
一般来说，虚数 b⋅i 的 n 次方为：
(b⋅i) i n = 乙 n i n = 乙 n i^(n 模 4)
以下是一些示例：
（5一） 12 = 5 12 i 12 = 5 12 i 0 = 5 12 × 1 = 244140625
（5一） 11 = 5 11 i 11 = 5 11 i 3 = 5 11 x（-i）= -48828 125 i
（-2一） 10 = -2 10 i 10 = 2 10 i 2 = 1024 x (-1) = -1024
相关： 如何在物理学中实现速度：完整定义、公式、示例和应用实数与虚数之和
当你将一个实数加到一个虚数上时，结果既不是实数也不是虚数，而是一种称为 复数 .
例如，如果 X = 3,5 且 Y = 3,75i，则结果为复数：
Z = X + Y = 3,5 + 3,75 i
请注意，在总和中实部和虚部不能组合在一起；因此，复数总是具有实部和虚部。
此运算将实数集扩展为最大的复数。
形式
虚数这个名称是由法国数学家勒内·笛卡尔 (1596-1650) 提出的，是为了嘲弄或反对 XNUMX 世纪意大利数学家拉斐尔·邦贝利的同一建议。
其他伟大的数学家，如欧拉和莱布尼茨，在这次争论中支持笛卡尔，并指出 数字 假想为 两栖动物的数量， 在存在与虚无之间挣扎。
虚数这个名称至今仍被保留，但它们的存在和重要性却是真实而明显的，因为它们自然地出现在物理学的许多领域，例如：
-相对论。
-在电磁学中。
-量子力学。
虚数练习
– 练习 1
找到下列方程的解：
z 2 + 16 = 0
解决方案
z 2 = -16
对两边取平方根，可得：
√ (z 2 ) = √ (-16)
等式 x + 1 = 0 中 x 的值是多少？ - Brainly.com.br
换句话说，原始方程的解是：
z = + 4i oz = -4i。
– 练习 2
计算虚数单位的 5 次方减去虚数单位的 -5 次方的结果。
解决方案
i 5 - 一世 - 5 =我 5 – 1 / i 5 = i – 1 / i = i – (i) / (ixi) = i – i / (- 1) = i + i = 2i
– 练习 3
求下列运算的结果：
（3i） 3 + 9i
解决方案
3 3 i 3 – 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i
– 练习 4
求下列二次方程的解：
（-2倍） 2 + 2 = 0
解决方案
该方程重新排列如下：
（-2倍） 2 = -2
然后对两边取平方根
√（（- 2x） 2 ) = √ (-2)
计算方程 ax2 + bx + c = 0 (x-1) = 0 中 x 的值 – Brainly.com.br
然后对 x 进行清理，最终得到：
x = ± √2 / 2 i
换句话说，有两种可能的解决方案：
x = (√2 / 2) i
或者这个：
x = – (√2 / 2) i
– 练习 5
找到由以下公式定义的 Z 值：
Z = √（-9）√（-4）+ 7
解决方案
我们知道负实数的平方根是虚数；例如，√(-9) 等于 √(9) x √(-1) = 3i。
另一方面，√(-4) 等于 √(4) x √(-1) = 2i。
因此，原方程可替换为：
3i x 2i – 7 = 6i 2 – 7 = 6 (-1) – 7 = -6 – 7 = -13
– 练习 6
求出以下两个复数相除所得的 Z 值：
Z = (9 – i 2 ) / (3 + i)
解决方案
表达式的分子可以利用以下属性进行分解：
平方差是未进行平方的二项式之差之和的乘积。
因此：
Z = [(3 - i) (3 + i)] / (3 + i)
得到的表达式简化如下，剩下
Z = (3 – i)
参考文献
Earl, R. 复数。检索自：maths.ox.ac.uk。
Figuera, J. 2000. 数学（第一版）。多元化。CO-BO 版本。
Hoffmann, J. 2005. 数学选题集. Monfort 出版社。
Jiménez, R. 2008。代数。普伦蒂斯·霍尔。
维基百科。虚数。取自：en.wikipedia.org